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"Z" 圖形與畢氏定理 (商高定理、勾股弦定理)

我目前找到的三種十格骨牌( Dekominoes )圖形中，最優美的圖形就是"Z"圖形，因為它的剪貼外框是最整齊的，並由畢氏定理的證明方法之一，可以導出這個"Z"圖形。也就是說：任意兩個非零的正整數，在 b 不等於 a 的條件下，六個全等的 "Z" 圖形，可以連結成正六面體的展開圖。雖然 b = a的情形下，中央方塊邊長L = 0 ( 沒有中央方塊 )，這個基本的圖形就不是標準多方塊的連結 (multiply connected的情形 Golomb教授把它另稱作pseudo-n-ominoes ) ，但是相同的六個圖形仍然可以連結成正六面體的展開圖，只是展開圖會有不相連的區塊產生。
George E. Martin先生的一本也是多方塊( Polyominoes 九章出版社有進口)為書名的第153頁，"The Z's"一節對各種"Z" 圖形的表示方式，有很詳細的定義。這一節更討論各種的 "Z" 圖形如何舖滿平面，其中的第一種 "Z"，Z ( b,b,a,a ) 正是符合上述的推論，而舖滿平面的方式也跟我的展開圖完全一致，只是George E. Martin先生沒有發現，其中部份相連的六個圖形，是可以摺疊成正六面體？！

Reference: POLYOMINOES A Guide to Puzzles and Problems in Tiling by GEORGE E. MARTIN. P153 The Z 's .
Several geometric proofs of the Pythagorean Theorem by Alexander Bogomolny.
Pythagorean Theorem by Eric W. Weisstein and Wolfram Research, Inc.

"Z" 圖形的拼湊 與 勾股弦定理證明DIY
如果您喜歡動手玩數學請看林保平老師的數理教育LIVE秀。
請先閱讀林老師的『內外相補』操作說明後再回來，選程式類『內外相補』項下的『內補』選項就可以自行搬移、旋轉圖塊，如下圖：(感謝台北市立師範學院數理教育學系林保平副教授同意提供畫面)
滑鼠左鍵按住弦方點移動，您可以發現很多的證明方法？ ( 梅文鼎？劉徽？........)
還有林老師的程式類『切割原理、勾股拼圖、勾股證明』等，都是相關議題一定要看，否則會後悔？
參考書：HPM通訊第一卷第一、二期，第二卷第七、十二期。

兩個非零整數平方和問題，許志農教授的數學講義：“算術” 24. 平方和問題，很值得參考。
這裡有中國大陸肖剛先生的如何『將一個正整數分解為2個整數的平方和』線上立即服務程式。
把 AT&T 的 Integer Sequences Research 網站上的 Sum of 2 nonzero squares, including repetitions 數列(A024509) 通通放進去求解，可以拼湊出以下"Z" 圖形的組裝表哩！

Pythagorean Theorem by Eric W. Weisstein and Wolfram Research, Inc.
Sum of 2 nonzero squares, including repetitions by Clark Kimberling .
Find Two squares by XIAO Gang .
Find more unfolding diagrams To cover a solid by Livio Zucca .
"Much more material has been discovered by expert polyformist Michael Dowle ." (Ref: mathpuzzle.com)
"An Iamond solver applet has been written by Daniel Elphick. It solves both hexiamond and heptiamond problems." (Ref: mathpuzzle.com)

選 a=3, b=5, L=2 由上表查得，每一個面的面積 34 = 3^2 + 5^2 ，六個面共 204 個小正方形，再加上兩個扣環共 210個正方形。
因為 24個『奇』屬性的六格骨牌是黑白平衡的，所以不必再考慮。
11個『偶』屬性的六格骨牌，黑白均相差 2 都是不平衡的，但偶數個偶屬性骨牌卻是平衡的。所以安排兩個扣環，必須詳細計算，使黑白方格相差 2或 6,10,14,18,22。
運用上述原理及黑白棋盤定理推算出： 35 塊 6 格骨牌，可以佈滿一個正立方體盒子的展開圖，為了達到盒子的功能，記得剪貼時有3塊空白三角形不可以上膠。

Reference: POLYOMINOES A Guide to Puzzles and Problems in Tiling by GEORGE E. MARTIN. P.72,73,101,102,153,178.
Let a=3, b=5, L=2 and one face= 34 = 3^2 + 5^2 and six faces = 204 unit squares. Let's add two buckle= 6 unit squares and Total= 210.
The 24 "odd" Hexominoes are balanced can be neglected.
The 11 "even" Hexominoes are unbalanced and how to set them at the right positions ?
Calculate the no. of "Black" and "White" unit squares and let them differ from 2 ( or 6, 10, 14, 18, 22 ).
This is a box with "Buckles" so there are 3 triangles "Don't Paste".

Guess who can live in a 34 Hexominoes covered cube ?
If you don't like the buckles ? Erase Black: 4 White: 2 ? ( Remain Black:104 White:100 )

1~100 "Z" 圖形的座標表示 Z= c^2= (row=b)^2 + (column=a)^2

1~100 "畢達哥拉數 | a^2- b^2 | , 2ab , a^2+ b^2 " 的座標表示

Several geometric proofs of the Pythagorean Theorem by Alexander Bogomolny.