美麗的拼圖 The most Beautiful Solution
3. 弧線拼板的正方體展開
? 15 Tetrasticks cover a Cube ?
4. CD盒18巧板大放送 ? What’s new in
a CD case ?
5. 對稱與全等
The Relationships in Solutions
作者：高文山 報告：2001/11/23 歷時：50分鐘 整理：2001/12/17
感謝各位蒞臨指導，首先要聲明，本人只是一個業餘的等積異型 (Polyforms) 拼圖愛好者，三年來在網路上蒐集及研究了一些東西有點成果，去年度在淡江大學首度發表，今年多了Note 3及Note 4的進度，在此給各位作一個報告。如果內容能夠跟相關的數學理論沾上一點邊，也只能算是巧合吧！畢竟艱深的數學公式對一個非科班出身的人是相當沉重的，接下來的時間應該是比較輕鬆才是。講題是『The
most Beautiful Solution』。我的目標是在有限的解答當中找一個最美麗的，可能每個人的審美觀點不同，今天就提出來本人的答案，請各位多多指教，也會提出一些個人的疑問就教各位先進。回到最前頭
網路上著名的幾何學園網站 The Geometry
Junkyard－Dissection by David
Eppstein的篇幅，2001/4/18更新時有這樣一段對個人網頁的介紹，本人深感榮幸。我推斷應該是Note 4上網時，寄了幾封徵求第一個解答之Email以後的第三天吧？Proteon's Puzzle Notes Wen-Shan Kao covers cubes with
polyominos and polysticks, packs worms into boxes, and studies giant tangram
like puzzles. Proteon是我在亞卓市的註冊名子。以上就當作是自我介紹 ( Who am I？) ，趕緊看看首頁的幾個圖案吧！回到最前頭
去年度年會我發現了，六個全等的十格骨牌(Dekominoes)可以包覆正立方體表面的三個基本圖形："Z"型、鴨子型 (Duck)、左手槍型 ( Left-hand Gun)。其中"Z"型可以說是最美麗的，因為它的剪貼外框是相當規則的，還可運用畢氏定理推展到更大的"Z"型。而這六個大"Z"型的34格骨牌(34-ominoes)，再加上兩個三格骨牌(Trominoes)的盒蓋扣環，正好組成一個正立方體盒子，那麼個人也認為，這個組合圖也是最美麗的？當組成各種展開圖後，接下來比較困難的工作是用低階(order)的多格骨牌(Polyominoes)去填滿它，而眼前的這個扣環盒子就是用35個六格骨牌(Hexominoes)去填滿。各位可利用義大利的Livio Zucca先生 ( PolyMultiForms的發明大師 ) 最近在網站上貼了一個很方便的介面程式
(download
the complet setup program here [1.5MB]) ，用滑鼠輕易的點選方格後，馬上產生HTML格式來執行。(其核心程式是由，荷蘭Gerard Putter 先生撰寫的 Universal
Polyominoe solver ) 。回到最前頭
去年度年會我首度公開發表了『18巧板』的拼圖遊戲，發表了許多種有趣的玩法業已張貼在個人網站裡，今年我要再補充一些更有趣的玩法。又申請日本3077931、德國20020235.9、中國ZL00252105.9專利權均已核准，台灣
466964的專利則在十二月一日開始公告三個月、美國的專利是審核中。各位手中傳閱的壓克力雷射切割產品，是已經商品化的教育版產品，大會書展攤位亦有台中的經銷商進駐，大家可以前往參觀選購。各位請注意看一下，並對照手中傳閱的展開圖實品，這十條線段包覆正立方體的圖形，是去年度這個鴨子型十格骨牌的中心點連結而成的基本元件圖所組成的，待夥兒還有更精采的圖形給各位報告。回到最前頭
線段(Segment)與多方塊(Polyominoes)無論是平面或立體的接合均存在緊密的關係，Solomon W. Golombo 的Polyominoes
書中有討論。我們先把多方塊的每一個單位正方形中心點連結起來，3階及4階 (order) 的多方塊連結成的線段，我們只取用4個線段的組合( 4-segments
or Tetrasticks )共有16種造型，來玩一個遊戲。紐約有一位中學數學教師Lawrence Detlor 把線段的組合命名為 Polypleura，而每這16片的命名與Solomon
Golombo的12個五格骨牌(Pentominoes)命名互相對應，也是有學理的依據，值得參考。回到最前頭
我的『弧線拼板』最初是閱讀 王登傳
老師編著的『數學遊戲大觀』第四集，第145~148頁有這樣一段敘述：「線巧板」為
陳文錫 先生設計，取名為「智巧板」，只刊載有一例解答，從此激發了父親與我不斷地尋求其他解答的興趣，兩年多來我的父親閒暇時就把玩一番，而由我負責紀錄分類整理。恰巧
mathpuzzle.com by Ed Pegg Jr. material added 1&10 April
2001.貼了有關
Polysticks的參考文章。而Donald
E. Knuth 高德納教授的論文刊載解答數是h: 72 sol. J: 382 sol. L: 607 sol.
N: 530 sol. y:
204 sol. (Refereed Papers P159 Dancing
Links by P.17~18 ): The
set of all solutions was first found by [37] Bernhard Wiezorke and Jacques
Haubrich. (February 1994) 。有了上述兩篇報告真是如獲至寶，趕緊整理手頭上的資料於4/10完成，才有Note 3 的出現。回到最前頭
我把型片造型稍作改良成圓弧狀，如此"O"型片就像「甜甜圈」一樣，再用四分之一的圓弧和直線段為基本元件，組裝成比較圓滑一點的『弧線拼板』。那麼「甜甜圈」到底要多厚，才能緊密的舖滿一個平面呢？也就是說內圓及外圓要彼此相切。於是應用畢氏定理算出，甜甜圈的厚度是根號2的內圓半徑(
SQR(2) * r ) 。而16種拼板的命名則參考Lawrence
Detlor的Polypleura
內文稍作變更，因為”P:1~4”的四種較難辨別，所以我依照英文字母形狀和筆劃來定義（老實說我也可算是一個業餘的Puzzle Designer？）。回到最前頭
我並以XY軸為鏡射線，用阿拉伯數字及最下層左邊第一條線段，分別代表不同方位的形狀，全部標註在型片的正反兩面，以方便紀錄不同的解答。紀錄則是由左下角原點開始，向右紀錄型片代碼及最下層左邊第一條線段的數字，逐層向上紀錄即可。並可以
"O" 或 "X" 型片定位 (當然用其他任一型片也可以來分類，像這個"I"也不錯，可能有3個位置來分類)，並分別列出可能擺放的位置，再加以編號。以文字來紀錄一個解答必須是唯一的，所以分類型片的各種定位，必須再考量是否有對稱軸或旋轉軸，那解答則必須翻轉或旋轉，以文數字串排序最小者為其唯一解答碼。回到最前頭
在整理過程中，意外發現這個非常少見的解答(也是我老爸排出來的)，因為它有三個線對稱的圖形，更有三型片可互相對換的形狀，總共可以變化出16個相關的解答。那麼我認為，這也可能是最美麗的一個解答？還有可以參考Alfred Wassermann Covering
the Aztec Diamond with One-sided Tetrasticks 一文，其單面玩法就是，非對稱型片有正反兩片，遊戲時不得翻面；這也是當初高德納教授的論文認為可能沒有解的問題。回到最前頭
各位可以傳閱一下，我手工製造的兩個木製弧線拼板，試著挑戰看看？難度相當高哦！我們看一下h、J、L、N、y五個分類的總解答數，到底難易度如何來評量？是解答數呢？還是型片數呢？還是兩者按某種加權法去計算呢？我也不知道。倒是前幾年流行一時的四角拼圖或六角拼圖，因為困難度極高，回頭詢問賣拼圖店的老闆，也是「某宰羊」？！網路上有人寫了一個求解程式供人下載Match
IQ Puzzle by 王昌元，我也把它用來解答家中堆置已久的拼圖，結果都是只有一或二個解，所以不久就消聲匿跡了。回到最前頭
值得一提的是，Livio
Zucca先生看了我的網頁，不久就寄來了只能捨去h,J,L,N,y五種型片解答證明法，於是稍作整理貼在我的網頁裡。各位看一下這個圍繞著 5*5 方格的解盤，著灰色部分是連結塊不考慮計數，5*5 的方格是凸柱不能放型片，其他的計數方塊，Livio Zucca先生把水平的方塊著成藍色；垂直的方塊著成紅色(Checkerboard
colorings)，所以整個解盤各有30個紅或藍，都是相等的(balanced)。那C,f,G,O,S,T,u,V,W,X這十支型片，無論怎樣擺放在盤上，都是2紅2藍都是偶數且相等的。那"I"型片無論垂直擺放或水平擺放都是4紅或4藍，都是偶數且紅藍數不等。又h,J,L,N,y這五支型片擺放看看，都是3紅1藍或3藍1紅，是奇數且不等的。紅藍相等的型片可以不再考慮，"I"型片先用"h及J"兩片來平衡，"L及N"型片把"N"片旋轉90度，如此加起來就是4紅4藍是相等的，最後只剩下"y"型片囉？所以這5支奇數；紅藍又不等的型片，是可以捨去不用的，這樣簡潔的證明相當不錯吧！他還說：可以改變外框形狀，來嘗試其他的解盤。另外他把兩組的Tetrasticks總共32片組成矩形盤面也是蠻有趣的；就是要解決奇偶數核對(Parity
Check)的問題吧？回到最前頭
網路上也有線段的數字拼圖遊戲，是由Martin Watson 先生設計的產品，由 0到9 的數位數字組成的Digigrams，總共有49個線段，可以佈滿
4*5 的格網。那麼是否有解答呢？有人幫他解出來，只有區區5個解，困難度太高了吧！回到最前頭
3. 弧線拼板的正方體展開 ? 15 Tetrasticks cover a Cube ?
讓我們回顧一下個人去年度的報告裡，Solomon W. Golombo 的Polyominoes
書中 附錄B，第23號題：有人把12片5格骨牌(Pentominoes)拼成這個奇怪的立方體展開圖。我則把它改變外框形狀，小巧的搬動三個單位正方形，使裁切線整齊些。萬萬沒想到，這個展開圖竟然可以區分成六等份，於是開使尋找其他可能的基本元件圖形。這是第三個圖形，我把它稱為左手槍型
( Left-Hand Gun ) 。因為正立方體展開圖是可以攤開成 "T" 字型，把它橫過來擺放，就像長梯的形狀，上下各有一個球在滾翻。假如梯子可以無限加長，就可以找出很多種的展開圖形狀，因為每次取長梯中4個正方形，外加上下各一個正方形在任何位置均可，就有多種的組合。所有的展開圖列表，各位可參考去年度報告，已貼在個人網站上。回到最前頭
既然Livio
Zucca說：可以改變外框形狀。我就嘗試把去年發表的3個基本型連連看，線段的形狀是否可以組成正立方體的展開圖呢？答案是肯定的。上邊這個鴨子的10線段圖 ( Duck 10-sticks )
是點對稱的圖形，它的十字架型展開圖加上裁切線，各位仔細看一下：是不是5格骨牌 "Z" 型的正方體展開圖呢？再看一下線段的棋盤彩色 (
Checkerboard colorings ) 水平垂直的藍紅比是：32比28。理論上可能會有15個弧線拼板去填滿它吧？至於是否有解呢？就要看運氣囉！個人網頁Note
4.1裡有所有的11種展開圖列表。回到最前頭
接下來看左手槍的（13）圖 (
Left-Hand Gun 10-sticks ) ，它是非對稱的圖形有4個方位，按照去年度我的長長階梯方法可以找出這個 "T" 型展開圖，如果再加上裁切線，各位仔細看一下：是不是5格骨牌
"P" 型的正方體展開圖呢？而10格骨牌 "P" 型(或稱為拇指thumb型)的正方體展開圖由Livio
Zucca 寄來給我，刊在他的To cover a solid。去年被我給捨去不要的，因為它有2個頂點無法定義位置，今年度可能要把它再撿回來了？各位手中的對照表很清楚，這兩個十字架形狀的展開圖，只是網格分別為1：2和1：3的差別吧了！這是整理本次報告時才發現的，可說是這個研討會個人最大的收穫。嘿！真是有趣，竟然會有這種對應關係？我現在還是很納悶？！回到最前頭
那麼我要問：什麼樣的圖形，可以用6個去組成正六面體的展開圖呢？除了
"Z" 型大小系列的裁切邊比較整齊，還有鴨子型的，以上這些都是點對稱的（symmetry）圖形。非對稱（asymmetry）形狀的左手槍型(Left
Hand Gun)，編號在第15號的和15B的展開圖，均有「同一方位」可以無限制地舖滿平面，然後去挖出來6個可以組成正立方體的展開圖，最後再旋轉一下其中的幾個面，好像不難找出其他10種的展開圖？這樣是否齊全呢？有沒有遺漏呢？我無法證明。以上這些實例我在這邊提出來就教各位先進，有沒有其他的方法呢？這也是往後個人繼續研究的課題，就此打住了。回到最前頭
4. CD盒18巧板大放送 ? What’s
new in a CD case ?
『十八益智拼盤』是我申請專利的名稱，簡稱『18巧板』比較好記。而多等腰直角三角形或可稱多半方塊(Polytans or Polyaboloes)等長的邊接合組成的等積異型片(Polyforms)，3階及4階的各有4片
(Tritans)及14片 (Tetratans)造型，我把這18片命名為18巧板 (18 ProTangram)，也就是原型七巧板(prototype
of Tangram)或專家型七巧板(professional Tangram)的意思啦！回到最前頭
型片定義組成，分別以造型酷似英文字母A,B,C,D及F,G,H,I,J,K,M,Q,R,S,V,W,X,Z來表示。再以十字軸為鏡射線，用阿拉伯數字代表不同象限型片代碼，標示在每一型片的「底層左邊的直角三角形」內。如此排出了解答的當時，在此以6*6-4*0.5=34的解盤說明，由原點開始按照X1Y1,X2Y1,..X6Y1,X1Y2,X2Y2,...X5Y6,X6Y6的次序，記載型片英文代碼及底層左邊的直角三角形內阿拉伯數字，如此這36個文數字串的解答碼 (也可以分層加註逗點更精確)，即可精準地描述這個解答圖形。如果要成為解答的提示，把阿拉伯數字捨去；如果還無法解出，可以加註分層逗點；如果是針對小學低年級，更可以把線對稱、點對稱或全等圖形，用色彩及標示線條，來達到提示的功能。這不就是寓教於樂嗎？回到最前頭
CD盒18巧板的玩法：括號的難易度，是憑感覺分類出來，並沒有量化的標準。
1.
盒底： 6*6 - 4*0.5 = 34標準玩法(簡易)。
18片全部使用，填滿6*6方八邊形的區域；盒底格網有標示黑色外框。X型片只能落在0~5的位置，X型片在0,3,5及2,4,5的位置各有線對稱軸；在5的位置有點旋轉軸。
2.
盒底： 6*6 = 36多一片玩法(稍難)。
18片全部使用，填滿正方形的區域；盒底格網有標示紅色外框。中央紅色2*2方塊則留下FGHKQRVWX型片的形狀即算解答出來。X型片只能落在1~4的位置，X型片在3及2,4的位置各有線對稱軸。(或者留下FGHKQRVWX型片的形狀，在盤面任何一個位置也可以)。
3.
盒底：6*6 - 4*1 = 32少一片玩法(困難)。
使用17片F,G,H,I,J,K,M,Q,R,S,V,W,X,Z型片擇一不用，填滿正方形缺四個角的區域。X型片只能落在2~5的位置，X型片在3,5及2,4,5的位置各有線對稱軸；在5的位置有點旋轉軸。
4.
盒底：6*6 - 2*2 = 32少一片玩法(極難)。
使用17片F,G,H,I,J,K,M,Q,R,S,V,W,X,Z型片擇一不用，填滿正方形缺中央方塊的環狀區域，又稱方塊環玩法；盒底格網有標示紅色外框。X型片只能落在1,2的位置，X型片在2的位置有線對稱軸。
5.
盒底：5*7 - 1 = 34標準玩法(困難)。
18片全部使用，填滿矩形缺中央單位方塊的區域，X型片只能落在1~4的位置。盒底左方有一片隔版，把它橫擺放在盒底上方或下方，就可以開始玩了。
6.
盒底：5*7 - 4*0.5 - 1 = 32少一片玩法(稍難)。
使用17片F,G,H,I,J,K,M,Q,R,S,V,W,X,Z型片擇一不用，填滿長八邊形缺中央單位方塊的區域，X型片只能落在0~4的位置。盒底左方有一片隔版，把它橫擺放在盒底上方或下方，就可以開始玩了。
7.
盒底：6*7 - 4*(2*2/2) = 34標準玩法(簡易)。
18片全部使用，填滿6*7長八邊形的區域；盒底左方有一片隔版，把它拿出來不用，盒蓋上有四個透明的“Ｗ”型片放在盒底四個角落，格網有標示綠色外框。X型片只能落在1~8的位置，X型片在6,7,8的位置有線對稱軸。
8.
盒蓋：4SQR(2) * 4SQR(2) = 32少一片玩法(稍難)。
使用17片F,G,H,I,J,K,M,Q,R,S,V,W,X,Z型片擇一不用，填滿由4*SQR(2)為邊長的正方形區域。擺放在盒蓋上玩XY軸是旋轉45度，所以型片也必須旋轉45度，盒蓋上有個外框並有網格膠片可以參考。X型片只能落在0~5的位置，X型片在0,2,4,5及3,5的位置各有線對稱軸；在5的位置有點旋轉軸。
9. 盒蓋：4*4 - 4*0.5 = 14 七片或八片玩法(簡易)。
使用A,B,C,D加Tetratans型片中的4片共8片，或者Tetratans型片中的7片。填滿4*4的方八邊形區域。擺放在盒蓋上玩XY軸是旋轉45度，所以型片也必須旋轉45度，盒蓋上有個外框並有網格膠片可以參考。
去年度個人提出來，上項第2種玩法中，是否有兩片“Ｗ” 或兩片“Ｈ”在6*6盤面的正中央紅色的2*2方塊內呢？今年度剛好提出來第4種玩法，它的盤面正好可以證明：兩片“Ｗ”在6*6盤面的中央2*2的方塊是不可能的。這裡有18巧版在方塊環盤面，佔有最多邊框數之分類列表。其中“Ｗ”型片最多能佔有4個邊；“A,H,K,M”4個型片最多能佔有3個邊；“B,F,I,Q,R,V,Z”7個型片最多能佔有2個邊；“C,D,G,J,S”5個型片最多能佔有1個邊；“X”型片則無法佔有任何邊數。以上總共可佔有最大邊框數為1*4 + 4*3 + 7*2 + 5*1 + 1*0 = 35，而方塊環的邊框數是6*4 + 2*4 = 32，因為35 – 4
= 31 < 32；又兩片“Ｗ”在正中央都是佔有4個邊數，所以方塊環盤面玩法“Ｗ”型片捨去不用，或者6*6多一片玩法之盤面且兩片“Ｗ”在正中央，都是不可能的。那兩片“Ｈ”在中央的問題，有請各位動動腦幫幫忙吧？回到最前頭
德國的Peter F. Esser 先生更是厲害，他把任意數量的方塊或直角三角形（直線型的多方塊由對角線切割而成），任由平面或立體組成的型片，再經由滑鼠右鍵增刪型片，去構成另一組理想的組裝型片，再去填滿任意的平面圖案或立體區域，其功能超強且是免費的
(Freeware)。總共有三個程式可供下載：專解2D平面的pslover.zip
、轉解立體的3dsolver.zip、及專解有洞洞的多方塊程式cellsolve.zip，真是琳瑯滿目。今天報告的內容有部分的解答就是由該程式跑
(run) 出來的，個人網頁裡均有加註說明。回到最前頭
5. 對稱與全等 The Relationships in
Solutions
接下來我要讓各位看看這個，我認為應該是最美麗的一個解答，就是首頁那個18巧板GIF
Animation的列表。我把這一族 (family) 解答中可能出現的旋轉對稱 (rotational symmetry) 鏡射對稱 (reflexive
symmetry) 或可互相對調的 (swapped) 全等 (congruent) 圖形整理出來。並限制最多只能移動兩個元件 (up to two movable
components)，然後再試著去找出一個最具代表性的解答，來當作這個家族的商標 (logo)；也就是解答圖案當中有最多對稱及全等的小圖形者。那我還有疑問是：究竟這一家族的解答能變化出幾種答案？如何去精確地計數及有沒有比這一家族更大的呢？我無法確定，在此提出來請教各位先進？回到最前頭
以上簡單的報告，敬請各位批評指教！
參考書 References ：
1."POLYOMINOES" puzzles, patterns, problems, and packings, revised edition by SOLOMON W. GOLOMB , Princeton university press. 1994.
2."POLYOMINOES" A Guide to Puzzles and Problems in Tiling by GEORGE E. MARTIN , Published by The Mathematical Association of America. 1996.
3."MATHEMATICAL MAGIC SHOW" by MARTIN GARDNER. Chapter 11. VINTAGE BOOKS.
4."Dissection : Plane & Fancy" by Greg N. Frederickson , Chapter 6&10, Cambridge University Press 1997.
5."數學魔術館"，沈永嘉 譯，第11章，大夏出版社。
6."數學大觀"，歐陽絳 編著，第一卷，第12章，曉園出版社，1993。
7."數學遊戲大觀"，王登傳 編著，第四集，第145~148頁， 前程出版社，1999。
8."科學教育月刊"，第234期，「展開圖二三事」：彭君智 撰，科學教育月刊社2000/11。
9."快樂學習正方形"，生活科學系列4，陳順發 譯，遠哲科學教育基金會，1998。