「玩具與遊戲產業人才培育國際研討會」國立台北師範學院 玩具與遊戲設計研究所 主辦
論文發表： 作者/編號/研究內容
站長與您有約：4月30日 (六) 至善樓 教室404R 13：30 b1.G-7：『18巧板幾何拼圖遊戲』
『１８巧板』 幾何拼圖遊戲
1. 前言 Preface
2. CD盒的12種玩法 12 Problems in CD Case
3. 18巧板解答例 Some Total Solutions
4. 四半方塊環狀結構 The Tetratan’s Rings
5. 解答的指標 The Index for Solution
6. 型片編碼與解答紀錄 Coding & Answering Code
作者：高文山 KAO，Wen-Shan proteon@ms51.hinet.net
Main site edu : http://home.educities.edu.tw/proteon/ Mirror site pchome : http://home.pchome.com.tw/soho/polyhex/
報告時間：2005年 4月 30日 13:30 ~ 13:45 更新整理公佈：2005/05/25
報告地點：玩具與遊戲產業人才培育國際研討會 ( 主辦：國立台北師範學院 玩具與遊戲設計研究所 至善樓 404R教室 )
Abstract：The 18 ProTangram Tiling Game contains two sets of patterns, four pieces of Tritans (Triaboloes) and fourteen pieces of Tetratans (Tetraboloes). These 18 pieces are composed of three or four isosceles right triangles and joined either at their sides or hypotenuses in all possible way. With the delicate pattern structure and the square grid, these 18 pieces are named as letters A, B, C, D, F, G, H, I, J, K, M, Q, R, S, V, W, X, and Z respectively. Using all or some of these 18 pieces, the players are challenged to fit the pieces into various fixed frame. There are five levels of complexity and difficulty from: BASIC, EASY, HARD, DIFFICULT, and EXPERT level. Twelve board games in a CD case have been designed.
中文摘要：18巧板
就是３個等腰直角三角形等長的邊接合組成的型片只有４片的3半方塊型片，加上４個等腰直角三角形等長的邊接合組成的型片只有14片的4半方塊型片，一共是18片的幾何造型片之鋪磚遊戲。每一型片的命名則是依據該型片組成構造，分別以酷似的英文字母A,
B, C, D,及F,
G, H, I,
J, K, M,
Q, R, S,
V, W, X,
Z來表示。CD盒空間的12種玩法 ─
挑戰者可依個別程度選擇：入門、簡易、稍難、困難、極難等五種難易度的盤面進行遊戲。
Keyword: 18 ProTangram, Tritans, Tetratans
關鍵字：18巧板，3半方塊型片，4半方塊型片 TOP1. 前言 Preface
↓個人單槍匹馬在數學領域闖蕩了將近五年的時間，還好在叢林裡沒有迷失方向。我的個人網站『拼圖筆記』，被「台灣組合數學網」推薦為主題分類好站連結第30號（中研院數學研究所李國偉博士架站的），而Google的網頁排行 (Page Rank) 則是5/10，每天大約有１００人次的造訪，歡迎各位連線上網！等積異形（Polyforms）嚴格說來是屬於計算幾何（Computational Geometry）的研究領域，但個人在思考的是：如何將九年一貫數學學習領域，幾何能力指標的教學內容把它玩具化、教具化，也順便來充充電是今天我來的目的；也想將來轉戰工業設計領域，敬請各位專家多多給我批評指教。今天因為時間只有15分鐘所以只講七個單元，18巧板單面（One Sided）的玩法、英文字母、注音符號及奇妙的八邊形等篇幅，都請各位自行參考個人網站的內容。
↓我今天要在CD盒子裡搞創意，也就是在有限的容器（container）空間裡塞入18巧板最多的玩法，這也是最佳化的處理（Optimization）。我們先看一下幾項玩法的動畫檔（GIF Animation）：首先是產品的外包裝照片，打開來後把CD盒平放在桌面上，再把盒蓋的上層格網膠片抽出來，最內框是入門的玩法，可以讓初學者先體驗一下（8號玩法）。再把內框拿出來，然後將盒底的型片放到盒蓋內，這樣會剩下來一片面積2的型片（9號玩法）。將盒底的黑白隔條拿出來，再將四片半透明的三角形放在盒底的四個角落，將所有的型片填滿這個扁平的八邊形（7號玩法）。再將盒蓋的格網膠片抽換，也就是四個角落0.25不能擺放，如此你會剩下來二片面積1.5的型片（10號玩法）。將黑白隔條擺在盒底的上方，再把這長方形填滿，中央剩下來一個單位方塊（5號玩法）。再將黑白隔條擺上下顛倒擺放，再將入門玩法的內框及盒蓋裡的元件及膠片歸位，如此盒蓋又可以蓋起來了。 TOP
↓PUZZLE一般的印象都是在整人的，為了扭轉這個錯誤的觀念；還有就是如何把玩具提升為教具，我才想出來多種的補助格網，這樣一來學生在擺放型片的時候很清楚知道XY軸方向，如此可以降低挫折感也才能達到教學的目的。 TOP
2. CD盒的12種玩法 12 Problems in CD Case
等積異形（Polyforms）就是等面積不同造形的幾何型片，這些型片的組成元素都是簡單的幾何圖形，如正方形、正三角形、正六邊形，把一定數量的圖形，等長的邊完全接合後，產生出所有組合的型片。再用這些型片（全部或部分使用）去填滿固定外框之拼圖遊戲，相關問題的研究稱為鋪磚、填裝、覆蓋、分割、鑲嵌等等〈tiling, packing, covering, dissection, tessellation etc.〉。
↓目前行銷的『18巧板』─ 終極版之說明書列有12種典型的玩法，全部都是在CD盒裡就可以玩。挑戰者可依個別程度選擇：入門（BASIC）、簡易（EASY）、稍難（HARD）、困難（DIFFICULT）、極難（EXPERT）等五種難易度的盤面進行遊戲。
↓正方形由對角線切開來我把它稱為半方塊，當然二等分的切法也可以由中央切開這樣的長方形（邊長1比2）一般稱為二格骨牌（Domino），它的組合型片不在今天的討論範圍。而三個半方塊的所有組合圖形只有四種稱為三半方塊型片（Tritans）；四個半方塊的所有組合圖形只有十四種稱為四半方塊型片（Tetratans）。這些四加十四共十八個型片我另外給它們命名為18巧板（18 Pro Tangram）也就是原型（prototype）七巧板或專家型（professional）七巧板的意思。每一型片的名稱則是依據該型片組成構造，分別以酷似的英文字母A,B,C,D及F,G,H,I,J,K,M,Q,R,S,V,W,X,Z來命名，這也是我申請專利的一部分。
↑我們先看上圖左邊「有趣的圖框」：標準的玩法都是在選定的外框用十八塊型片填滿，左上這三棟房屋則是比較創意的玩法，也可以在解答裡再加上正方形、八邊形或H形式的切割。正方形環狀、八邊形環狀則是比較困難的玩法，右下角這兩個長方形面積各為３２及３６相差４，其中面積３６的長方形又是兩個１８的正方形組成的，面積３２的長方形剩下來的型片又是相似的H型片，這樣的玩法稱為相似性〈similarity〉的問題。這裡有原木製的實品請大家傳閱一下：
X型片在盤面可能的位置，都給與阿拉伯數字編號，以便解答紀錄時分類使用。下圖左右兩邊各是互相對照的玩法：
↓1. X6Y6盒底： 6*6 - 4*0.5 = 34標準玩法 (簡易 EASY: 1,966,024 solutions)。18片全部使用，填滿 6*6方框截去四個角隅的八邊形區域；即盒底格網有標示之黑色外框。等一下有一個最多家族成員的解答剖析。
↓2. X6Y6盒底： 6*6 - 4*1 = 32少一片玩法 (困難 DIFFICULT: 9,662 solutions)。使用17片F,G,H,I,J,K,M,Q,R,S,V,W,X,Z型片擇一不用，填滿6*6正方形缺四個角的單位方塊之區域，等一下有分類的解答列表。
↓3. X6Y6盒底： 6*6 = 36多一片玩法 (稍難 HARD: H- 437, X- 907, ... solutions)。18片全部使用，填滿 6*6正方形的區域；盒底格網有標示紅色外框。中央2*2紅色框則留下FGHKQRVWX型片的九種形狀之一即可，等一下有分類的解答列表，或者重複14種4半方塊之一在盤面的任意位置也是可以的。
↓4. X6Y6盒底：6*6 - 2*2 = 32方塊環玩法 (極難 EXPERT: 30 solutions)。 使用17片 S或 X型片擇一不用，填滿正方形缺中央方塊黑色的環狀區域，盒底格網有標示紅色外框，等一下還有30個全解的詳盡列表。 TOP
↑5. X7Y5盒底：5*7 - 1 = 34標準玩法 (困難 DIFFICULT: 1,612 solutions)。盒底左方有一片隔版，把它橫擺放在盒底上方或下方，就可以開始玩了。18片全部使用，填滿矩形只缺正中央單位方塊黑色的區域，剛才已有示範的玩法，當然這個單位方塊在盤面的任意位置也是可以的。
↑6. X7Y5盒底：5*7 - 4*0.5 - 1 = 32少一片玩法 (稍難 HARD: 4,076,004 solutions)。盒底左方有一片隔版，把它橫擺放在盒底上方或下方，就可以開始玩了。使用17片F,G,H,I,J,K,M,Q,R,S,V,W,X,Z型片擇一不用，填滿長八邊形缺正中央單位方塊黑色的區域，當然這個單位方塊在盤面的任意位置也是可以的。 TOP
↓7. X7Y6盒底：6*7 - 4*(2*2/2) = 34標準玩法 (簡易 EASY: 13,092,371 solutions)。 18片全部使用，填滿 6*7長八邊形的區域；盒底左方有一片隔版，把它拿出來不用，盒蓋上有四個透明的“Ｗ”型片放在盒底四個角落，格網有標示綠色外框。這樣的玩法經日本的玩家用程式解出來是最多的，等一下還有一個最新發現的好解答？
↓8. X4Y4盒蓋：4*4 - 4*0.5 = 14 七片或八片玩法 (入門 BASIC: 2,972 solutions)。 使用A,B,C,D加Tetratans型片中的 4片共 8片，或者Tetratans型片中的 7片，盒蓋上有個外框並有網格膠片可以參考。因為擺放在盒蓋上玩XY軸是旋轉 45度，所以型片也必須旋轉 45度。二個 1.5等於 3是奇數，二個 3等於 6是偶數，這個玩法可以學到小數、整數、奇數、偶數的問題。
↓9. X8Y8R盒蓋：(4SQRT(2))^2 = 32少一片玩法 (稍難 HARD: 6,862,816 solutions)。 使用 17型片 F,G,H,I,J,K,M,Q,R,S,V,W,X,Z型片擇一不用，填滿由 4*SQR(2)為邊長的正方形區域。擺放在盒蓋上玩XY軸是旋轉 45度，所以型片也必須旋轉 45度，盒蓋上有個外框並有網格膠片可以參考。這個外框的邊長正好是X型片邊長的四倍，所以也稱為四倍盤玩法，面積就是十六倍等於３２，所以會剩下一個四半方塊型片。當然其他四半方塊型片也有四倍盤的玩法，所以等一下應該有 14*14= 196種分類的解答列表？
↓10. X7Y7R盒蓋：(4SQRT(2))^2－4*0.25 = 31少二片玩法 (困難 DIFFICULT: 204,295 solutions)。 使用 16型片 A,B,C,D型片擇二不用，填滿由 4*SQR(2)為邊長的正方形去掉四個角隅的八邊形區域。擺放在盒蓋上玩XY軸是旋轉 45度，所以型片也必須旋轉 45度，盒蓋上有個外框並有網格膠片可以參考。 TOP
↑11. X4Y4,X6Y6R盒底+蓋：4*4+(3SQRT(2))^2 = 34雙方塊玩法 (極難EXPERT: 78 solutions)。
使用 18型片，同時填滿由 4及 3*SQR(2)為邊長的兩個面積為 16及
18的正方形區域；當然只完成其中一個正方形也是可以的，等一下有全部
78個解的詳細列表。
↑12. X5Y5R盒蓋：(3SQRT(2))^2－1*2 = 34雙胞胎玩法 (困難 DIFFICULT: 11,898 solutions)。 使用 18型片，同時填滿兩個面積為 14的八邊形區域；當然只完成一個八邊形也是可以的。 TOP
3. 18巧板解答例 Some Total Solutions
↓1號的玩法：這個解答可以變化出很多相關的解，我把它串成動畫檔，還有詳細的列表可以對照一下。
↓２號的玩法：W型片目前還是找不到答案。
↓３號的玩法中央２＊２紅框多覆蓋一個型片，剛才有Ｈ的例子，這裡還有八個列表：
↓９號四倍盤的玩法：１４類的列表總計應該有 14*14=196 種？
↓但是Ｈ型片的Ｗ是沒有答案的，首頁的圖示只差最後的一步，總計只有 196-1=195 種。
↓X型片的四倍盤特別有意思，裡面可以再有八邊形的分割圖形，但是Ｊ型片找不到？另外X型片在正中央是比較好的解答，如果又在八邊形的圖形裡那就更有趣了！這個X型片的四倍盤是可以在CD盒蓋裡玩的。
↓１１號的雙方塊玩法：很困難，日本的玩家 石野 恵一郎 (ISHINO Keiichiro) 全部給解了出來。以下是全部７８個解答的列表，如何統計是組合數學的課題。我把它們分成四類的組合，對稱的型片組用粗黑線框起來很容易理解。
4. 四半方塊環狀結構 The Tetratan’s Rings
↓４號的玩法：稱為方塊環，剩下來的型片正好是正方形的Ｘ型片可以放在正中央打轉，所以我把一些解答串成ＧＩＦ動畫檔：
↓全部的３０個解答則分為三大家族，並排成解答的圖譜（Solution Map）：
↓第二家族只有一個成員，與第三家族拉不到任何關係？解答圖譜排列當然還有不同的樣式，以下是我整理的方式，怎樣編排比較好還未定論。
↓四半方塊面積的二倍如下面的黑色大型片的黑洞，把它們擺在圖框任意位置外圍再填滿，剩下來的型片與黑洞相似的話是比較困難的。Ｈ型片的問題目前是無解的 (Mission Impossible)？
↓看完了方塊環的全解，我們想想看有沒有長方形的環呢？答案是肯定的。盤面的設計下圖很清楚：
↓其他種類的解答列在下圖：I 型片找不到答案；S 型片則是反面的。
↓這裡還有長方塊環又稱 H環的14種解答列表：〈顯然比方塊環的兩種還多，這是出乎我的意料？〉
↓長方塊的盤面內，全部 14種與黑洞相似的都有解答。列表如下：
5. 解答的指標 The Index for Solution
↓以下是最近才發展出來的結果，正好趕上這次的研討會，就是對解答嘗試給它一個指標，可以計算這個解答的對稱性有多高？那麼以下這個解答有四個型片(AHRW)的共同邊為什麼是紅色的呢？我是把兩個以上對稱型片組的外框重疊以後，發現只剩下四個型片是無法被切割出來的。
更新 2005/05/25 UPDATE
6. 型片編碼與解答紀錄 Coding & Answering Code
↓正反面的編碼依其不同的方位，標示在型片左下角的半方塊內。以XY軸為鏡射線，A1順時鐘旋轉90度是A4，8種方位標示的方法如下：X型片可以都為 0 (或是依不同的圖框編出來可能的位置)，H型片只有兩種方位，BDIMRSVWZ型片則各有四種方位，請特別注意！
↓解答紀錄是由左下角原點開始，依序記下型片英文名稱及正向的數字即可。遇到方格內有二個數字時，斜線 "/" (forward-slash) 狀況時先左上後右下；反斜線 "\" (back-slash) 狀況時先左下後右上。這六層的文數字串共36個碼用逗點分開很清楚，如果捨去數字剩下18個英文字母就變成這個解答的提示。想要還原解答則需要一些邏輯概念，也就是思考型片填補單層盤面的可能狀況。再來還可以把這18個英文字串頭尾接起來提升層次，這樣就可以作為猜謎活動給分的標準了吧？當然低年級的小朋友也可以用著色，或者加上線條的方式來達到提示的目標。
[1] T. H. O'Beirne, New Scientist, 266 ( Dec. 21, 1961 ), p. 752.
[2] "MATHEMATICAL MAGIC SHOW" by MARTIN GARDNER Chapter 11. VINTAGE BOOKS.
[3] "數學魔術館"，沈永嘉 譯，第11章，大夏出版社。
[4] "數學大觀"，歐陽絳 編著，第一卷，第12章，曉園出版社，1993。
[5] http://www.asahi-net.or.jp/~uy7t-isn/Puzzle/18ProTangram/index.html.en Oct 7, 2003 by Keichiro Ishino
[6] Polytans http://alpha.ujep.cz/~vicher/puzzle/polyform/tan/tan.htm by Miroslav Vicher
[7] NUTTS Puzzle http://karl.kiwi.gen.nz/pznutts.html © Copyright Karl Scherer 1994-1999
[8] Polyaboloes http://clarkjag.idx.com.au/PolyPages/index.htm?Polyaboloes.htm by Andrew Clarke
[9] Similar Hole Problems http://clarkjag.idx.com.au/PolyPages/index.htm?SHole.htm by Andrew Clarke
[10] Polyaboloes http://mitglied.lycos.de/polyforms/polytans/start.html by Peter F.Esser
[11] Polyabolo http://mathworld.wolfram.com/Polyabolo.html © 1999 CRC Press LLC, © 1999-2005 Wolfram Research, Inc.
[12] The Tan TricksTM series http://www.gamepuzzles.com/tk.htm by Kate Jones ©2003-2005 Kadon Enterprises, Inc.[13] Sequence A006074 http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A006074 by N. J. A. Sloane
[14] PolySolver http://www.geocities.com/jaapsch/puzzles/polysolver.htm Written by Jaap Scherphuis © 2004-2005.
