１８巧板
The 18 ProTangram Tiling Game
1.
前言 Preface
3.
18巧板全解 Some Total
Solutions
4.
四半方塊環狀結構 The
Tetratan’s Rings
5.
18巧板CD盒裝終極版
The Final Version
作者：高文山
報告地點： 2003數學學術研討會(國立中央大學數學系主辦)
2003/12/20
幾何拓樸組 M219 15:20~15:45
整理公佈：2004/03/31
Main
site edu : http://home.educities.edu.tw/proteon/
Mirror site pchome : http://home.pchome.com.tw/soho/polyhex/
感謝各位的蒞臨指導及年會主辦單位給我這個機會，還要感謝貴校的亞卓市，免費提供個人網站空間
(30MB)，三年來讓計數運轉了194030人次(2000/06/19∼2003/06/11)。近半年來改用
站地萬象HOTRANK
計數器，分類排行在「科學科技類」，平均每週約有一千人次以上點閱。由於個人對等積異形
(Polyforms)
拼圖特別偏愛，自行在網路上蒐集研究一些題材，目前已累積超過10MB的資料，主要有多半方塊
(Polytans)、多方塊 (Polyminoes)、多線段 (Polysticks)等三大樣的拼圖遊戲，及其相關的正立方體展開圖
(cube nets) 等等。
今天我們要把焦點放在多半方塊中的『18巧板』(18
ProTangram)，就是3階有4片的三半方塊 (Tritans) 加4階有14片的四半方塊
(Tetratans) 幾何造型片的舖磚遊戲。也就是各位手上的A3彩色說明書及贈送給各位一份世界專利的產品：『18巧板』─
CD盒裝終極版。報告封面的圖樣則是1, 2, 4, 8, 16, 32, 64各兩倍的正方形鑲嵌在一起的圖框，它給我很多的靈感；因為它與方塊環的圖框有密切的關係，而環狀的結構是最近發展出來的圖框，也是今天的主題。另外奇妙的八邊形的圖框，也就是把正方形歸納定義為八邊形的方法，在此給各位作一個簡要的報告。
我們先來看一下與『18巧板』相關，幾個已知的研究結果：這是捷克Miroslav Vicher's puzzle page 所公佈的14片四半方塊 (Tetratans)填滿的外框組合只有(only)八種凸多邊形(convex polygon)，其中鏡射對稱的圖形只有兩種，而八種圖框的解答總數也都公佈出來了[6]。各位請再注意一下，這八個圖框斜線數 (slash) 與反斜線數 (back slash) 都是奇數 (odd) 的。這14片四半方塊 (Tetratans) 分別的奇偶性質是英國數學家T.H.O'Beirne在1961 披露的[1]。而這個對等性的問題 (parity check problem) 也被收錄在MARTIN GARDNER 的"MATHEMATICAL MAGIC SHOW" 一書裡[2]，"數學魔術館"[3]及"數學大觀"[4]則是中文翻譯本。這裡還有捷克Miroslave Vicher教授整理的各種等積異形型片(polyform)總表，是目前網路上相當完整的列表，非常詳細可以參考。
還有紐西蘭這位先生設計的，他一共使用了二三四階共20片多半方塊型片覆蓋一個正方形(NUTTS Puzzle by Karl Scherer 1994)，但是二階的單位正方塊 (unit square) 捨去不用；如果把它擺在解答的旁邊就是1：36的相似正方形。他的網站也公佈有100個圖框的解答，只是選用了跨三階的型片組好像多了一些？個人初步的研究，只要加入三階的四片型片，就可以破解14片四半方塊 (Tetratans) 對等性質問題的限制了。
在18巧板
(三半方塊+四半方塊)
或更高階五半方塊的拼盤，時常會使用到八邊形的圖框，因為我希望外框是90度的旋轉對稱的圖框，可以上下或者左右翻面。八邊形的圖框其實是虛線正方形，截去四個等腰直角三角形角隅的形狀，如果有同階的全部型片，填滿這樣的圖框，基本上就是最佳的組合圖形。我把這種圖框定義為
L：底邊的長度及H：SQRT(2) 斜邊數為高度。L = 0 或 H = 0
時，為特例是正方形。八邊形的面積則為：L^2 + 4*L*H + 2*H^2我整理好的面積表給各位應用參考。
H*SQRT(2) 為斜邊的長度，L=0 or H=0 區域即欄位框線為綠色或咖啡色者均為正方形。1&2, 2&4, 4&8, 8&9, 16&18, 32&36, 49&50, 98&100, 196&200, 288&289 都是面積相當接近的正方形，兩個面積差都在 1~4 之間，足以使人產生迷惑，是拼圖設計者的好材料。L為奇數時圖框的中心為單方塊，L為偶數時圖框的中心為點，所以內外框之L值應同為奇數或偶數。這裡我統計一下面積1~1000其中兩個圖框面積相等者有Area(L,H): 49(1,4)(7,0), 98(0,7)(8,1), 119(3,5)(9,1), 161(1,8)(9,2), 196(2,8)(14,0), 217(5,6)(11,2), 238(2,9)(10,3), 287(1,11)(15,1), 289(7,6)(17,0), 322(4,9)(16,1), 329(3,10)(11,4), 343(7,7)(13,3), 391(1,13)(11,5), 392(0,14)(16,2), 434(4,11)(12,5), 441(3,12)(21,0), 476(6,10)(18,2), 497(9,8)(15,4), 511(1,15)(17,3), 553(5,12)(13,6), 574(2,15)(22,1), 623(5,13)(23,1), 644(2,16)(18,4), 658(8,11)(20,3), 679(11,9)(17,5), 686(6,13)(14,7), 697(5,14)(19,4), 721(1,18)(23,2), 784(4,16)(28,0), 791(3,17)(19,5), 868(10,12)(22,4), 882(0,21)(24,3), 889(13,10)(19,6), 952(4,18)(20,6), 959(3,19)(29,1), 994(8,15)(16,9)，即欄位背景為灰色者。三個圖框面積相等者有Area(L,H): 833(7,14)(15,8)(25,2)，即欄位背景為粉紅色者。以上這些圖框值都落在L: H=1:1 or 2:1 的斜線上，只有289(7,6)(17,0), 391(1,13)(11,5), 697(5,14)(19,4)三組沒有落在1：1 or 2:1 的斜線位置，即欄位背景為藍、黃、綠色者特別奇怪？這裡我也整理出「多半方塊 ( Polytans or Polyaboloes ) 型片數及覆蓋面積表」供各位參考。以上請參閱個人網站Note 6.A。
3.
18巧板全解 Some Total Solutions。
多等腰直角三角形或可稱多半方塊
(Polytans
or Polyaboloes)
等長的邊接合組成的等積異形片(Polyforms)，3階及4階的各有4片
(Tritans)及14片 (Tetratans)造型，我把這18型片命名為18巧板
(18 ProTangram)，也就是原型七巧板 (prototype of Tangram)
或專家型七巧板(professional Tangram)的意思啦！每一型片的命名則是依據該型片組成構造，分別以酷似的英文字母A,B,C,D及F,G,H,I,J,K,M,Q,R,S,V,W,X,Z來表示。
『18巧板』─
CD盒裝終極版的說明書列有12種玩法，最近被一位日本的組裝類玩家(Put-Together
or Interlocking即魯班鎖) 石野
恵一郎 (ISHINO Keiichiro) 全部給解了出來[5]。等積異形(Polyforms)的拼圖不論是平面(2D)或者立體(3D)玩法，一般PUZZLE玩家都把它歸為Put-Together或為Assembly類別。我們看一下這些玩法的解答總數目。
1. X6Y6盒底： 6*6 - 4*0.5 = 34標準玩法 (簡易 EASY: 1,966,024 solutions)。
18片全部使用，填滿6*6方框截去四個角隅的八邊形區域；即盒底格網有標示之黑色外框。
2.
X6Y6盒底：
6*6
- 4*1 = 32少一片玩法 (困難 DIFFICULT: 9,662 solutions)。
使用17片F,G,H,I,J,K,M,Q,R,S,V,W,X,Z型片擇一不用，填滿6*6正方形缺四個角的區域。
3.
X6Y6盒底：
6*6
= 36多一片玩法 (稍難 HARD: H- 437, X- 907, ... solutions)。
18片全部使用，填滿6*6正方形的區域；盒底格網有標示紅色外框。中央2*2紅色框則留下FGHKQRVWX型片的形狀即可，當然也就是重複使用一個FGHKQRVWX型片擺在盤面中央位置
(或者擺在盤面任何一個位置也是可以的)。
4.
X6Y6盒底：6*6
- 2*2 = 32方塊環玩法 (極難 EXPERT: 30 solutions)。
使用17片F,G,H,I,J,K,M,Q,R,S,V,W,X,Z型片擇一不用，填滿正方形缺中央方塊黑色的環狀區域，盒底格網有標示紅色外框。
5.
X7Y5盒底：5*7
- 1 = 34標準玩法 (困難 DIFFICULT: 1,612 solutions)。
18片全部使用，填滿矩形缺中央單位方塊黑色的區域。盒底左方有一片隔版，把它橫擺放在盒底上方或下方，就可以開始玩了。
6.
X7Y5盒底：5*7
- 4*0.5 - 1 = 32少一片玩法 (稍難 HARD: 4,076,004 solutions)。
使用17片F,G,H,I,J,K,M,Q,R,S,V,W,X,Z型片擇一不用，填滿長八邊形缺中央單位方塊的區域。盒底左方有一片隔版，把它橫擺放在盒底上方或下方，就可以開始玩了。
7.
X7Y6盒底：6*7
- 4*(2*2/2) = 34標準玩法 (簡易 EASY: 13,092,371 solutions)。
18片全部使用，填滿6*7長八邊形的區域；盒底左方有一片隔版，把它拿出來不用，盒蓋上有四個透明的“Ｗ”型片放在盒底四個角落，格網有標示綠色外框。
8.
X4Y4盒蓋：4*4
- 4*0.5 = 14 七片或八片玩法 (入門 BASIC: 2,972 solutions)。
使用A,B,C,D加Tetratans型片中的4片共8片，或者Tetratans型片中的7片，盒蓋上有個外框並有網格膠片可以參考。因為擺放在盒蓋上玩XY軸是旋轉45度，所以型片也必須旋轉45度。
9.
X8Y8R盒蓋：(4SQRT(2))^2
= 32少一片玩法 (稍難 HARD: 6,862,816 solutions)。
使用17型片F,G,H,I,J,K,M,Q,R,S,V,W,X,Z型片擇一不用，填滿由4*SQR(2)為邊長的正方形區域。擺放在盒蓋上玩XY軸是旋轉45度，所以型片也必須旋轉45度，盒蓋上有個外框並有網格膠片可以參考。這個外框的邊長正好是X型片邊長的四倍，所以也稱為四倍盤玩法。
10.
X7Y7R盒蓋：(4SQRT(2))^2－4*0.25
= 31少一片玩法 (困難 DIFFICULT: 204,295 solutions)。
使用16型片A,B,C,D型片擇二不用，填滿由4*SQR(2)為邊長的正方形去掉四個角隅的八邊形區域。擺放在盒蓋上玩XY軸是旋轉45度，所以型片也必須旋轉45度，盒蓋上有個外框並有網格膠片可以參考。
11.
X4Y4,X6Y6R盒底+蓋：4*4+(3SQRT(2))^2
= 34雙方塊玩法 (極難EXPERT: 78 solutions)。
使用18型片，填滿由4及3*SQR(2)為邊長的兩個正方形區域。
12.
X5Y5R盒蓋：(3SQRT(2))^2－1*2
= 34雙胞胎玩法 (困難 DIFFICULT: 11,898 solutions)。
使用18型片，填滿3*SQR(2)為邊長的正方形去掉四個角隅的兩個八邊形區域。
4.
四半方塊環狀結構 The Tetratan’s Rings
方塊環玩法當時只想到方塊環狀的盤面很好看，也拼出來許多的解答可以串聯出首頁的動畫圖檔
(GIF Animation)，今天我更要把日本玩家
石野
恵一郎 (ISHINO Keiichiro) 寄來給我全部 30個解答作一番整理。我把它們分為三大家族
(Family)，並依據對稱
(Symmetry)、全等 (Congruent)、自身全等
(Self-Congruent) 及移動元件 (Movable Componemt) 數目，分類整理出全部解答之關係列表。其中有粗黑色邊框是對稱形狀的型片組，紅色虛線框內的解答是該族的代表，因為它的移動元件總數最小，向四面八方擴散可導出其他相關的解答。第一家族：除S共8解；除X共22解，分為第二家族：只有1個解是極罕見的情況，及第三家族：21解，這21解有高達五個或六個移動元件
(Movable Componemt) 的型片組相關變化更是少見。四半方塊 (4-Tans)
只有14片，我們把每一型片放大為原來的兩倍，再將這些八半方塊
(8-Tans) 的形狀的黑洞 (Black Hole) 放置在 6*6
的拼盤中任意位置，外圍再用「18巧板」填滿；這樣的玩法會剩下一片四半方塊
(4-Tans) 無法擺放。但是如果剩下來的型片，恰巧是與黑洞相似的型片，可以鑲嵌入內那就更困難了，這就是我所謂的方塊環四半方塊
(Square Ring Tetratans)。直到目前為止 6*6 的拼盤中H型片鑲嵌入H形狀八半方塊
(8-Tans) 黑洞好像沒有解答？以上請參閱個人網站Note
2.SR。
接下來的內容是最近研發出來新的玩法與上一段相似，我們先來瞭解6*6 的拼盤是如何組成的？X型片面積的兩倍等於 2*2 的方塊，然後每邊各放大三倍就是 6*6 的拼盤。同理兩個H型片可以拆開來組成八半方塊 (8-Tans) 的H形狀，只是方位旋轉了45度；而八半方塊 (8-Tans) 的H形狀每邊各放大三倍，就是一共36個單位方塊的面積，而稱為3√2倍盤，因為H面積的十八倍，即是H型片每邊長各放大√18=3√2倍。這個旋轉了45度大H型拼盤，中央的位置再擺放一個八半方塊H的黑洞 (8-Tans’Black Hole)，外圍再用「18巧板」填滿，如果剩下來的型片，恰巧是與黑洞相似的型片，可以鑲嵌入內這就是我所謂的長方塊環 (Rectangle Ring or H Ring)。有了方塊環 (Square Ring, X Ring) 與長方塊環 (Rectangle Ring, H Ring)，其他十二種的四半方塊 (4-Tans) 拼盤也就很容易繪製完成，只可惜I型片鑲嵌入I黑洞的拼盤，好像也是沒有解答？以上請參閱個人網站Note 2.TR。
5.
18巧板CD盒裝終極版 The Final Version
『18巧板』─ CD盒裝終極版，也可以說是CD盒空間最佳化的運用，除了盒蓋中央有一個八邊形的圖框尚未塞入說明書 (請自行雙面列印Note 2.0.OM裁切裝訂成冊) 以外，其他的空間都已經塞滿了18種形狀及四個三角形之壓克力型片、三張網格膠片、一隻黑白色隔板及兩個壓克力圖框。盒底是 6*7 的長方形，盒蓋則是稍大於 4√2*4√2 的面積，這兩個面積都可以充分利用，就是盡可能地納入最多的玩法。剛才提過的12種玩法，盒底或盒蓋均有外框並有網格膠片可以補助使用，挑戰者可依個別程度參照說明書，選擇：入門、簡易、稍難、困難、極難等五種難易度的盤面進行遊戲。以上請參閱個人網站Note 2.0.3。
型片編碼是以XY十字軸為鏡射線，用阿拉伯數字代表不同象限型片代碼，標示在每一型片的「底層左邊的直角三角形」內。如此排出了解答的當時，在此以6*6-4*0.5=34的解盤說明，由原點開始按照X1Y1,X2Y1,..X6Y1,X1Y2,X2Y2,...X5Y6,X6Y6的次序，記載型片英文代碼及底層左邊的直角三角形內阿拉伯數字，如此這36個文數字串的解答碼以分層加註逗點，即可精準地描述這個解答圖形。如果要成為解答的提示，可已把阿拉伯數字捨去；當然也可以再加註分層逗點。如果是針對小學低年級，更可以把線對稱、點對稱或全等圖形，用色彩及標示線條，來達到提示的功能；這不就是寓教於樂嗎？以上請參閱個人網站Note
2.0。
今天就簡單的報告到此，敬請各位批評指教！
[1]
T. H. O'Beirne, New Scientist, 266 (
[2]
"MATHEMATICAL
MAGIC SHOW"
by MARTIN GARDNER. Chapter 11. VINTAGE BOOKS.
[4]
"數學大觀"，歐陽絳
編著，第一卷，第12章，曉園出版社，1993。
[5]
http://www.asahi-net.or.jp/~uy7t-isn/Puzzle/18ProTangram/index.html.en
[6]
http://alpha.ujep.cz/~vicher/puzzle/polyform/tan/tan.htm
[7]
http://karl.kiwi.gen.nz/pznutts.html
[8]
http://clarkjag.idx.com.au/PolyPages/index.htm?Polyaboloes.htm
[9] http://mitglied.lycos.de/polyforms/polytans/start.html
[10]
http://mathworld.wolfram.com/Polyabolo.html