拼圖廣場 The Polyforms' Square

感謝各位蒞臨指導，本人對等積異形（Polyforms）拼圖特別愛好，最近在網路上蒐集及研究了一些新的題材，在此給各位作一個報告。講題是『拼圖廣場 The Polyforms' Square 』。由於很多的拼圖玩家，都喜歡把它設計在正方形圖框內，可能是較有挑戰性及收藏比較方便吧？但今天我要提出來的正立方體展開圖之組合元件卻不是正方形？我還要探討尋找組合元件的方法？另外幾何組合圖形最佳化這個議題應該輪不到我來講述，因為組合數學不是我的專業。但是我最新研究出來八邊形的圖框很是有趣，請各位不彷讓我從個人的角度來詮釋，也就是在個人網站首頁的一些圖形，我以為那幾個圖形都是最佳化的一種結果；總是擺在門口的東西鐵定是要吸引人才會招來更多的訪客。這回研討會我把中國大陸和台灣的地圖，採用不同的比例尺，再打上210格馬賽克（mosaic），並著上黑白相間的顏色，計算一下黑白格數相差2, 6, 10, 14, 18…的時候，基本上這個方格網的圖形，是可以用35個6格骨牌（Hexomino）來填滿。報告封面地圖的解答，其中有打記號的11種6格骨牌，就是正立方體的基本型展開圖。回到前頭Top

最初我在多方塊POLYOMINOES by Solomon W. Golomb 這本書看到附錄B第23號題目：有讀者將12片5格骨牌（Pentomino），組合成一個極不規則的圖形，而它卻可以摺疊黏貼成一個正立方體；我猜想這位讀者應該是想解決，正立方體展開圖預留黏貼邊的問題吧？但是外框很不規則剪貼也不是很方便。於是我將相鄰的三個單位正方形搬動一下（A,B,C搬到a,b,c位置），如此剪貼的邊緣均是1比3的斜邊，這樣一來將更容易剪貼，而且外觀也比較整齊。就在1999年12月19日的下午，我突然發現這個圖形竟然是由六個全等（congruent）的 "Z" 圖形所組成的。而這個"Z" 圖形是可以擴展到更大的"Z"形狀，且一樣都可以組成正立方體的展開圖，這個等一下再詳細說明。以下我先嘗試用多格骨牌排列的方法，把11種正立方體的展開圖分類？至今好像很少人去分類研究，我也無法辨別這樣的分類是否正確，如果講錯的話請給我指正，也是參加本次研討會的最大目的。

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2. 正立方體11種基本展開圖及其組合元件之探討 How to cover a solid ?

正六面體總共有11種的基本展開方式，也就是大家所熟知的由摺線剪開來的模式，為了讓我們迅速而正確地辨別：我把這11種大致分為四大類，掌握住了第a.大類就可以很快地導出 b. c. d. 類的圖形，在此並以多格骨牌（Polyomino）標示以方便分析記憶。

a. 四格骨牌上下各有一個單格骨牌：

把正方體視為方柱體，上頂及下底各有一個正方形，柱體側面則有四個正方形。最常見的就是第7號的" T "字型及第 13 號的拉丁十字架。這六個圖形都是上頂及下底的正方形各移動或滾翻一兩個位置即可輕易達成。

b. 二個三格骨牌：扁平上下排列，重疊一個方塊，成階梯狀。

c. 三個二格骨牌：扁平上下排列，各重疊一個方塊，成階梯狀。

d. 二格三格加單格骨牌：二格三格骨牌扁平上下排列，重疊一個方塊，成階梯狀，三格骨牌下方各有一個單格骨牌。

如此分類有個好處，就是易於辨識，我有一個口訣就是：14，23，32，231。這對國民中學二年級下學期的學生來說可是一大幫助，雖然默記不是最好的學習方法，但這樣的分類好像有一點規律性？今天我就要針對a.類做個詳盡的研究，其他的三類目前還沒有任何的概念，各位是否能提供我一些建議呢？

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A：弦圖之立方體展開

大大小小的弦圖很多，在此我不是要研究畢氏定理，而是我把弦圖應用到正立方體的展開圖。六個正方形的弦圖理所當然可以組成正六面體展開圖，但我卻傾向於用六個 "Z" 圖形來組成，當然這個 "Z" 與弦圖是等面積的。而這個"Z" 形狀的10格骨牌（Dekomino）我把它做如下的剖析：3+3個方塊加一個2*2 固定的中央方塊(中黃實、差方)，一共是10個小方塊；這個十格骨牌的"Z" 圖形，我給它註記為：123,0,123,0（註記法稍後再詳細說明）。然後還要套上勾1股3的斜邊為邊長成的正方形摺疊虛線方格網（以下簡稱方格網，並以虛線表示），這樣才是一個完整的"Z" 圖形。那為什麼要勾1股3之弦的方格網呢？簡單的說就是10 = 1^2 + 3^2 ，就是把一個正整數拆開來成兩個正整數的平方和。這樣的拆解法就可以擴展到更大的"Z"形狀，也就是嘗試尋找其他多格骨牌（Polyomino）元件的方法之一。這裡有勾股（a,b）為座標，1~100 "Z" 的面積圖表，當勾股（a,b）相等的時候，中央方塊（中黃實、差方）的邊長即勾股差（L）為0，也就是沒有中央方塊。L = 0的這條45度斜線依序往左下角方向移動時，中央方塊的邊長（L）是遞增的。回到前頭Top

接下來這個34格骨牌（34-omino）的"Z"形狀，查表得知34 = 3^2 + 5^2，六個34格骨牌"Z"的排列情形與10格骨牌（Dekomino）排列完全一樣。更清楚的表示法，則要加上黑白相間的網格也就是棋盤著色（Checkerboard coloring），正相的"Z"4個都可以著色成18黑16白，旋轉90度倒下來的"Z"2個都可以著色成16黑18白，加起來共有104黑100白。把這個展開圖用35個6格骨牌（Hexomino）去填滿，則會剩下一個6格骨牌。因為35個6格骨牌填上黑白相間的顏色而分為兩大類，共有11種偶（even）屬性的也就是由2黑4白或2白4黑組成，它的黑白數均相差2都是不相等的（unbalanced），而24種奇（odd）屬性的骨牌都是由3黑3白組成，它的黑白數是相等的（balanced），所以只有11種偶（even）屬性的6格骨牌會剩下來。如果35個6格骨牌全部要使用則要花點腦筋，我把它設計成兩個鉤環（buckle），各擺在一個面的對向位置，黑白相間的網格加起來共有108黑102白，很幸運地也有解答。剪貼的時候則有三處不要上膠，這就是我個人相當得意的作品：35個6格骨牌包覆正立方體盒子（The 35 Hexominoes folded to cover a box with buckles.）。回到前頭Top

B：尋找10格骨牌元件的方法？

那麼還有沒有其他的10格骨牌（Dekomino）也可以覆蓋正立方體的表面呢？最初我是從全部的4,460個10格骨牌的圖表逐一的套上1：3的方格網，很幸運地找到第二個第三個的基本元件，我把它稱為鴨子（Duck）和左手槍（Left Hand Gun）的形狀，其實這要歸功於雙連結的長階梯理論（The double connected and long ladder method）。先把常見的十字架形或"T"字形展開圖橫擺，如果橫擺的四個展開面可以無限的延伸成長梯，且任意四個相連的展開面，頭尾也都可以互相連結，如果再找到可以在這個長梯上下滾翻的圖形，那麼這條長梯就是我所謂的雙連結的長階梯。何謂雙連結呢？也就是說：圖形連結的時候，必須骨牌形狀完全接合且方格網也必須完全接合，不得有任何的空隙。頂蓋及底面的骨牌放在雙連結的長梯上下時，滾翻的轉點就是方格網的四個頂點，滾翻的時候骨牌與方格網也必須完全接合，不得有任何的空隙。這樣的組合圖形應該可以找出很多以10格骨牌為元件的正立方體展開圖，當然我們希望用同樣的10格骨牌6個來組成展開圖才是最佳（Optimization）的結果。其實10格骨牌元件最多有四個方位的形狀，放到四個展開面的位置之方法有4 ^ 4 = 256種方法，用窮舉法也是可以找出來的，只是用我的雙連結的長階梯法比較快而已。回到前頭Top

現在再從弦圖標記方法詳細說明，首先把四個中央方塊固定，就是我們只先探討方格網上的單位方塊分布的狀況，以10格骨牌來說，還有6個單位方塊要擺放。中央方塊的周圍，共有3*4＝12個單位方塊分布在4條摺線上，每條摺線上最多只能再擺放3個單位方塊。先把6個單位方塊分成4堆的方法只有5種：3+3+0+0、3+2+1+0、3+1+1+1、2+2+2+0、2+2+1+1，再把4堆排列在4條摺線上的方法則有下列12種排列的方法，有些排列的方式是重複的，所以用"＝"列在右側參考。

分成4堆的5種方法	12種排列的方法如下	同左	同左	同左
3+3+0+0	A:3+3+0+0	=3+0+0+3	=0+0+3+3	=0+3+3+0
同上	B:3+0+3+0	=0+3+0+3
3+2+1+0	C:3+2+1+0	=2+1+0+3	=1+0+3+2	=0+3+2+1
同上	D:3+2+0+1	=2+0+1+3	=0+1+3+2	=1+3+2+0
同上	E:3+1+2+0	=1+2+0+3	=2+0+3+1	=0+3+1+2
同上	F:3+1+0+2	=1+0+2+3	=0+2+3+1	=2+3+1+0
同上	G:3+0+2+1	=0+2+1+3	=2+1+3+0	=1+3+0+2
同上	H:3+0+1+2	=0+1+2+3	=1+2+3+0	=2+3+0+1
3+1+1+1	I:3+1+1+1	=1+1+1+3	=1+1+3+1	=1+3+1+1
2+2+2+0	J:2+2+2+0	=2+2+0+2	=2+0+2+2	=0+2+2+2
2+2+1+1	K:2+2+1+1	=2+1+1+2	=1+1+2+2	=1+2+2+1
同上	L:2+1+2+1	=1+2+1+2

每條摺線方格網上的單位方塊我們再給它們編號1、2、3的序號，而A類的3+3+0+0 只有一種圖形產生，那就是標記為123,123,0,0的骨牌，有點像大拇指伸出來的手掌形狀(thumb)。這個10格骨牌是個不對稱的形狀，所以滾翻時有四個方位的圖形，同樣地也是給它們編號1、2、3、4的序號，再運用上述的雙連結的長階梯法可以輕易地組合成展開圖。這裡還有一點需要探究的是：11種正六面體的展開圖都會有14個方格網的頂點，我們還希望這14個方格網的頂點都有骨牌去定義它的位置，至少展開圖長的比較好看而且有意義，所以A類的3+3+0+0的這個骨牌不是我要的答案。換句話說：展開圖14個方格網的頂點，至少都需要有單位方塊的頂點去重疊、去定義它的位置。這裡我另外整理了Ｃ類的3+2+1+0 的九種骨牌形狀，和他們組成的展開圖例子。好像都找不到六個同一形的骨牌可以組成正立方體展開圖，不過由這裡卻可以找到一些頂點連接的10格骨牌和組成展開圖的樣式。回到前頭Top

C. 10圓格骨牌之立方體展開

單位方塊由頂點連接的模式，一般稱為Pseudo-n-omino，捷克的Miroslav Vicher 教授則把單位方塊圓角化後稱為Rounded-n-omino，使得圓格骨牌著色以後看起來對比鮮明真是高招。接下來L類的2+1+2+1 12,1,12,1 及K類的2+2+1+1 12,12,1,1 這兩個10圓格骨牌是我最近找到的新組合元件，雖然剪貼的邊凹凹凸凸，卻是很容易明瞭不同方位的元件形狀，著色以後可以看得更清楚。回到前頭Top

D.弧線拼版之立方體展開

4個線段的組合( 4-segments or Tetrasticks )共有16種造型，紐約有一位中學數學教師Lawrence Detlor 把線段的組合命名為 Polypleura。我則把型片造型改成圓弧狀，如此"O"型片就像「甜甜圈」一樣，再用四分之一的圓弧和直線段為基本元件，組裝成比較圓滑一點的『弧線拼板』。每一個型片上均還標有4條線段，只是我刻意的把線段旋轉90度而已。5*5的格網總共有60條線段，就是只用其中的15片來覆蓋，Donald E. Knuth 高德納教授的論文（Refereed Papers P159 Dancing Links）刊載解答總數是h: 72 sol. J: 382 sol. L: 607 sol. N: 530 sol. y: 204 sol.。而這一個解答卻非常少見，因為它有三個鏡射對稱的圖形，這稱為1個移動組件（one movable component），更有三型片可互相對換的自身形狀（self-swapped），這視為3個移動組件（three movable components），總共可以變化出16個相關的解答，我猜想這可能是最大的一個家族呢？

另外我用單位方塊及半方塊（由對角線切一半），組成的另一種型式的弧線拼板 (Type 4 )，很容易用市面上GIGO立方體積木自行組裝。但值得一提的是，義大利的Livio Zucca先生看了我的網頁，不久就寄來了只能捨去h,J,L,N,y五種型片解答證明法。各位請看一下這個圍繞著 5*5 方格的解盤，著灰色部分是連結塊不考慮計數，5*5 的方格是凸柱不能放型片，其他的計數方塊，Livio Zucca先生把水平的方塊著成藍色，垂直的方塊著成紅色，所以整個解盤各有30個紅或藍，都是相等的。那C, f, G, O, S, T, u, V, W, X這十隻型片，無論怎樣擺放在盤面上，都是2紅2藍都是偶數且相等的。那"I"型片無論垂直擺放或水平擺放都是4紅或4藍，都是偶數且紅藍數不等。又h,J,L,N,y這五支型片擺放看看，都是3紅1藍或3藍1紅，是奇數且不等的。紅藍相等的型片可以不再考慮，"I"型片先用"h及J"兩片來平衡，"L及N"型片把"N"片旋轉90度，如此加起來就是4紅4藍是相等的，最後只剩下"y"型片囉？所以這5支奇數；紅藍又不等的型片，是可以捨去不用的，這樣的證明相當簡潔不錯吧！回到前頭Top

Livio Zucca先生還說：可以改變外框形狀，來嘗試其他的解盤。於是我就把的上述3個10格骨牌連連看，10條線段的形狀6個是否也可以組成正立方體的展開圖呢？答案是肯定的。上邊這個鴨子的10線段圖 ( Duck 10-sticks ) 是點對稱的圖形，它的十字架型展開圖加上裁切線，各位仔細看一下：是不是5格骨牌 "Z" 型的正方體展開圖呢？再看一下線段的棋盤著色 ( Checkerboard coloring ) 水平垂直的藍紅比是：32比28。理論上可能會有15個弧線拼板去填滿它吧？至於是否有解呢，2001/04/15網頁貼出來到現在好像還是無解？11種的展開圖詳細內容請參考Note 4.1。

接下來看左手槍的10線段圖 ( Left-Hand Gun 10-sticks ) ，它是非對稱的圖形有4個方位，按照我的長階梯法可以找出這個 "T" 型展開圖，再加上裁切線，各位仔細看一下：是不是5格骨牌 "P" 型的正方體展開圖呢？再看一下線段的棋盤著色 ( Checkerboard coloring ) 水平垂直的藍紅比是：30比30。理論上也可能會有15個弧線拼板去填滿它吧？11種的展開圖詳細內容請參考Note 4.2。

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3. 幾何組合圖形最佳化 Some beautiful solutions on my front page

那們我要問：什麼樣的圖形元件，可以用6個去組成正立方體的展開圖呢？大大小小系列的 "Z" 型裁切邊比較整齊都是1：3的斜邊，好像是最佳的組合元件？還有鴨子型的，以上這些都是點對稱（rotational symmetry）的圖形。非對稱形狀的左手槍型(Left Hand Gun)，卻在編號Fig.15b和Fig.15Bd的展開圖均為「同一方位」。這樣同一方位可以無限制地舖滿平面的情形，又可以找到正立方體的展開圖，其實也是最佳的組合方式不是嗎？（註："Z"和鴨子型也可以同一方位無限制地舖滿平面）至於其他10種的展開圖，則需要再旋轉一下其中的幾個面，只是方位變成不同吧了。以上這些實例我在這邊提出來就教各位先進，有沒有什麼捷徑可以找到最佳的或次佳的或所有的組合元件呢？這是一直困擾我的問題。

接下來我們要討論的是半方塊（方塊由對角線切一半）的組合，也就是等腰直角三角形為單位的半方塊等積異形型片（Polytans or Polyaboloes）所組合出來的圖形。3階及4階的各有4片（Tritans）及14片（Tetratans）造型，我把這18片命名為18巧板（18 ProTangram），5階的則有30片（Pentatans），數量越來越多可組成的圖框也就更引人入勝。個人首頁上的幾個圖形，我比較偏好於八邊形的圖框，其次才是正方形，因為這兩個圖形可以互相的搭配，產生一些新的組合圖形結果來，更進一步我要用兩個變數來共同定義這兩類圖形，使它們融合在一起？

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4. 有趣的八邊形圖框 The miracle Octagonal frame

在18巧板(三半方塊+四半方塊)或五半方塊的拼盤，時常會使用到類似這個八邊形的圖框。它其實是虛線正方形，截去四個等腰直角三角形角隅的形狀。好處是可以上下或者左右翻面，更可以旋轉90度。如果有同階的全部型片，填滿這樣的圖框，基本上就是最佳的組合圖形。我把這種圖框定義為 L：底邊的長度及H：SQRT(2) 斜邊數為高度。L = 0 或 H = 0 時，為特例是正方形。八邊形的面積則為：L^2 + 4*L*H + 2*H^2我整理好的面積表給各位應用參考。

H*SQRT(2) 為斜邊的長度，L=0 or H=0 區域即欄位框線為綠色或咖啡色者均為正方形。1&2, 2&4, 4&8, 8&9, 16&18, 32&36, 49&50, 98&100, 196&200, 288&289 都是面積相當接近的正方形雙組（面積差 =1~4），足以使人產生迷惑，是拼圖設計者的好材料。L為奇數時圖框的中心為單方塊，L為偶數時圖框的中心為點，所以內外框之L值應同為奇數或偶數。這裡我統計一下面積1~1000其中兩個圖框面積相等者有Area（L,H）:49(1,4)(7,0),98(0,7)(8,1),119(3,5)(9,1),161(1,8)(9,2),196(2,8)(14,0),217(5,6)(11,2),238(2,9)(10,3),287(1,11)(15,1),289(7,6)(17,0),322(4,9)(16,1),329(3,10)(11,4),343(7,7)(13,3),391(1,13)(11,5),392(0,14)(16,2),434(4,11)(12,5),441(3,12)(21,0),476(6,10)(18,2),497(9,8)(15,4),511(1,15)(17,3),553(5,12)(13,6),574(2,15)(22,1),623(5,13)(23,1),644(2,16)(18,4),658(8,11)(20,3),679(11,9)(17,5),686(6,13)(14,7),697(5,14)(19,4),721(1,18)(23,2),784(4,16)(28,0),791(3,17)(19,5),868(10,12)(22,4),882(0,21)(24,3),889(13,10)(19,6),952(4,18)(20,6),959(3,19)(29,1),994(8,15)(16,9)，即欄位背景為灰色者。三個圖框面積相等者有Area（L,H）: 833(7,14)(15,8)(25,2)，即欄位背景為粉紅色者。以上這些圖框值大慨都落在L: H=1:1 or 2:1 的斜線上，只有289(7,6)(17,0),391(1,13)(11,5),697(5,14)(19,4)三組沒有落在1：1 or 2:1 的斜線位置，即欄位背景為藍、黃、綠色者特別奇怪？這裡我也整理出「多半方塊 ( Polytans or Polyaboloes ) 型片數及覆蓋面積表」供各位參考。回到前頭Top

A. 30 +？片五半方塊型片 9*9 拼盤

30 種的五半方塊 ( Pentatan or Pentabolo ) 造型，每一型片的面積為 2.5 個單位方塊，其總面積為 75 個單位方塊。把這 30 個五半方塊型片放到 9*9 的方形框內 ( 30 pcs Pentatans cover a 9*9 square ? )，必須添加許多不同規格的型片，只要這些不同規格的型片面積和為6就可以啦。其中尤以正方形可兼做定位分類使用特別有趣，全部列在此一頁裡，詳細的定位編碼及解答請參考Note 5。還有ABCD型片邊長各放大兩倍面積則放大成四倍，恰好是6的面積也是蠻好玩的，其四倍的A只可以用4個小A組成，四倍的B、C、D則可以用4個小ABCD組成。回到前頭Top

B. 30 + 1 片五半方塊型片10*10 拼盤

如果想把30 個五半方塊型片放到10*10的方形框內 ( 30 pcs Pentatans cover a 10 * 10 square? ) ，則必須添加一個單方塊 ( Monomino ) 型片，其面積為 76 個單方塊。這裡列舉上下左右均對稱且旋轉(reflexive & rotational symmetries)之內外框的組合圖形當作解盤 ( 編號為中空形狀灰色面積 )。我們可從中心點逐一向外框搬移半方塊，找尋對稱位置擺放，即可解出組合圖框來！詳細的解答請參考Note 5.1。回到前頭Top

C. 14+30 片四五半方塊型片 11*11 拼盤

四半方塊14個型片加五半方塊30個型片總面積為103個單位方塊，查表得知L = 5 ＆ H = 3的八邊形拼盤圖框面積恰好等於103。放在11*11 的方形框內，定位的型片以四半方塊的X最佳，詳細圖在Note 6。還有參考八邊形的面積表得知面積7(1,1) 及41(3,2) 的八邊形定義L為1及3 同為奇數，是可以擺放在103的八邊形圖框正中央。而41-7=34 又7及34 均可以2或2.5的許多倍數相加組成，所以理論上均可由四半方塊14個型片加上五半方塊30個型片來填滿7+34+62=103的三環狀圖框。回到前頭Top

D. 14+30 片四五半方塊型片 49+50 雙方塊拼盤

7 versus 5*SQRT(2) 就是說 7*7 等於49的正方形與 5個根號2為邊長的正方形面積等於50，僅相差一個單位方塊，很適合做為拼圖的題材：因為邊長只相差0.0710675 一般肉眼是很難判斷，49與50的正方形格網又必須旋轉45度更增加它的難度。所以14+30片四五半方塊填滿 49+50雙方塊拼盤（14+30 pcs Tetra&Pentatans tiling game），會剩下2片四半方塊的型片。又X型片是根號2為邊長的正方形，H型片則是兩個單位方塊接合，與49+50雙方塊拼盤接合的外形類似，所以我特地把剩下X&H的解答旋轉一下貼在首頁吸引網友觀看。

又L=1, H=4 的八邊形面積也是 49，如果在左邊圖框的四個頂點，各加上 1/ 4 個單位正方形後，其外框邊長就與右邊的圖框完全一致，只是格網平移了些許位置。這裡有兩個解答例：50 的正方形圖框中央有 8 的方框；49 的八邊形圖框中央有 9 的正方形或 7 的八邊形圖框也剛好可以放在 49 的正方形圖框中央甚是有趣。面積8的方框 = (2*SQRT(2)) ^2，用4階的型片來填滿好像僅有此兩個解 GJSV & GJSX？回到前頭Top

E. 28片單面三四半方塊49雙拼盤

這裡還有單面玩法的「單面 ( One-Sided ) 多半方塊型片數及覆蓋面積表」。單面的玩法，就是要把非對稱(asymmetry) 的型片增加反面的一片，還有旋轉對稱 (rotational symmetry) 的型片也要增加反面的一片，遊戲的時候所有的型片都不可以再翻面使用。其實單面的玩法就真的是在鋪地磚，因為一般的地磚都是只有表面上釉，底面則盡量粗糙以利和水泥接合，所以型片就多出來反面的。18巧版單面的型片共有28片，包含了3階的6片及4階22片的造型，總面積為53個單位方塊。如果用來填滿面積49的八邊形圖框，則會剩下兩片4階的型片。這裡我有整理出「28片單面三四半方塊49雙拼盤」，剩下F、G、I、J、K、Q、S、Z型片對的解答例，其中央面積7的八邊形圖框是相同的型片組成的。回到前頭Top

5.五半方塊正立方體展開圖

24 片的五半方塊型片面積等於60，是否可組成五半方塊的正立方體展開圖呢？這裡有個答案：您只須塗上喜歡的顏色，再按外框剪下來(不用再考慮預留黏貼邊的問題)逕行貼合成正立方體。而剩下來的六個型片，如果可以組成對稱的形狀也不錯，只是相當困難達成，不過也可添加一些其他的型片或以不規則的接合方式來達成。回到前頭Top

最後一定要提的就是德國的Peter F. Esser 先生很是厲害，他把任意數量的方塊或直角三角形（直線型的多方塊由對角線切割而成），任由平面(或立體)組成的型片，再經由滑鼠右鍵增刪型片，去構成另一組理想的組裝型片，再去填滿任意的平面圖案(或立體區域)，其功能超強且是免費 (Freeware) 的。今天報告的內容有大部分的答案都是由該程式解出來的，個人網頁裡有加註說明，30片的五半方塊型片編號亦是該程式給定的。程式可下載專解2D平面的mops.zip，它會自動解壓縮。還有專解3D立體的3dsolver.zip以及專解有洞洞的多方塊程式cellsolve.zip，各位如果有興趣也可以下載來玩玩。回到前頭Top

時間不夠用，18巧版的夢幻組合：就是怎樣利用廢棄的CD空盒，玩18巧版幾個有趣的玩法。請參閱個人網站Note 2.0 的內容，以上簡單的報告，敬請各位批評指教！

參考書 References ：

1."POLYOMINOES" puzzles, patterns, problems, and packings, revised edition by SOLOMON W. GOLOMB , Princeton university press. 1994.

2."POLYOMINOES" A Guide to Puzzles and Problems in Tiling by GEORGE E. MARTIN , Published by The Mathematical Association of America. 1996.

3."MATHEMATICAL MAGIC SHOW" by MARTIN GARDNER. Chapter 11. VINTAGE BOOKS.

4."Dissection : Plane & Fancy" by Greg N. Frederickson , Chapter 6&10, Cambridge University Press 1997.

5."數學魔術館"，沈永嘉 譯，第11章，大夏出版社。

6."數學大觀"，歐陽絳 編著，第一卷，第12章，曉園出版社，1993。

7."數學遊戲大觀"，王登傳 編著，第四集，第145~148頁，前程出版社，1999。

8."科學教育月刊"，第234期，「展開圖二三事」：彭君智 撰，科學教育月刊社 2000/11。

9."快樂學習正方形"，生活科學系列4，陳順發 譯，遠哲科學教育基金會，1998。

10. "多方塊"，孫文先 編，九章出版社，1999/05。

11. "從勾股定理談起"，盛立人、嚴鎮軍 著，九章出版社，2001/02。

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